线性表示与线性相关
线性表示这个概念，其实我们并不陌生，小学的美术老师就教过我们。
1.1 调色
上过小学美术课，就应该对调色板不陌生：
这个调色的过程实际上就是一个线性表示的过程。
让我们来解释一下，先来科普一下，人眼的构成是这样的：
别的医学名词咱们不关心，就说右边的感光细胞。可以看出人眼大致有三种感光细胞：红色、绿色、蓝色的感光细胞。
如果通过特定的光线，单独“激活”这三种感光细胞，我们分别看到红色、绿色、蓝色，这些光线也就是红光、绿光、蓝光：
这三种颜色的光线同时作用这三种感光细胞上，混合在一起，就得到了我们所看到的颜色：
因此，这三种颜色我们也称为三原色，简写为
从图中我们可以看到黄、青、洋红是红、绿、蓝两两相加的结果:
上图可以看到，还有三种颜色的合成，比如白色的太阳光：
就是按照
的比例合成的。
如果调整比例，我们可以得到海棠红
1.2 线性表示or线性组合
上面啰嗦了那么多，我们终于可以开始数学化，首先把
这样之前的海棠红可以写成这样了：
为了严格进行数学定义，我们先给出向量组的定义：
若干同维数的列向量（或者同维数的行向量）所组成的集合，叫做向量组。
比如之前的
然后定义：
给定向量组
好了，现在我们可以很数学的说，海棠红可以由
1.3 减法混合颜色
稍微补充说明一下，在调色板中调色和刚才描述的有点不一样。
先说明下，我们看到白纸之所以为白色，是因为白纸反射了所有的颜色到眼睛里。
要让白纸显示出颜色，需要在白色中遮挡住一些颜色的反射，也就是从白色这个向量中做减法：
颜料起到的就是在白纸中遮挡的作用，下面是颜料在白纸上的颜色合成图：
可以看出，这个合成图和之前的“三原色”混合图不一样，是因为这是做减法，而不是做加法。
不管怎么样，学习了数学，我们终于会调色了。
海棠红可以被
红色不能用绿色和蓝色调出来，绿色不能用红色和蓝色调出来，蓝色不能用红色和绿色调出来，我们就说
一个向量能被某向量组线性表示，则由它们组成的向量组也被称为线性相关的。
2.1 线性相关的定义
严格定义如下：
给定向量组
2.2 线性相关与线性表示的关系
因为
则：
2.3 例题
2.3.1 一个元素的向量组
Q：
向量组
-
线性相关
-
线性无关
A：
套用公式:
因为
仅含一个向量
2.3.2 两个元素的向量组
Q：
则下列两个向量组
-
0个
-
1个
-
2个
A：
向量组
而
因此答案是1个。
两个向量的集合
从几何上看，两个向量线性相关，当且仅当它们落在过原点的同一条直线上。
下图左边就表示
2.3.3 多个向量的向量组
Q：
向量组：
-
线性相关
-
线性无关
A：
任意一个向量都不是另一个向量的倍数，从几何上看，它们都没有落在一根直线上。
但是：
即伸缩之后，三者符合三角形法则：
因此向量组
2.3.4 含零向量的向量组
Q：
向量组
-
线性相关
-
线性无关
A：
几何上看，零向量与其它任一向量均过原点的直线上，因此它们线性相关。
若向量组
设有两个
若存在两组不全为零的数
则:
存在两组不全为零的数
整理得:
从而得到
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