如何理解施密特正交化?

如果是某,那么可通过下列做法找到该中的个两两的向量

该方法称为施密特正交化(Gram–Schmidt process)。

施密特正交化的几何意义是,比如已知中的某(下图中的蓝色平面)的:

那么通过施密特正交化,可借助得到就是该的一个

下面来解释下施密特正交化是如何推导出来的。

1 二维平面

先来讲解下如何寻找二维

1.1 思路

先从特殊的二维说起。比如知道的一组,也就是下图中的两个

只要将其中一个向量对另外一个向量进行投影,就可以得到

1.2 代数

下面来进行代数推导,假设

任选其一作为,比如选

作出所在直线的投影,连接就得到要求的垂线向量

容易求出(因为构成三角形,所以根据。又投影在一条直线上,两者,所以可假设

因此:

因为,所以:

所以:

):

这样就得到了的一组

1.3 总结

上述方法就是二维空间中的施密特正交化,可以总结如下:

上述推导过程并没有被限制在中,所以它也可以完成开头提到的在三维空间中的平面上寻找的任务:

2 三维立体

再来看看如何寻找三维

2.1 思路

还是以特殊的三维为例。比如知道的一组,也就是下图中的三个

先按照,将其中任意两个向量正交化:

然后向这两个向量的作垂线,从而得到三个正交向量,也就是的一组

2.2 代数

下面来进行代数推导,假设

任选两个向量,按照将其中任意两个向量正交化,得到

作出上的投影,连接就得到要求的垂线向量

容易求出(因为构成三角形,所以根据。又投影上,所以,可假设

因此:

因为垂直于,所以必然垂直于,所以有:

注意到,即有,根据上面的方程组可以分别推出:

所以:

):

这样就得到了的一组

2.3 总结

上述方法就是三维空间中的施密特正交化,可以总结如下:

3 更高维度

更高维度的情况以此类推,这里不再赘述。

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