施密特正交化的几何意义是，比如已知中的某（下图中的蓝色平面）的为:

那么通过施密特正交化，可借助得到， 就是该的一个：

下面来解释下施密特正交化是如何推导出来的。

先来讲解下如何寻找二维的。

先从特殊的二维说起。比如知道的一组，也就是下图中的两个：

只要将其中一个向量对另外一个向量进行投影，就可以得到的：

下面来进行代数推导，假设为：

任选其一作为，比如选：

作出在所在直线的投影，连接和就得到要求的垂线向量：

容易求出(因为、和构成三角形，所以根据有。又投影和在一条直线上，两者，所以可假设：

因此：

因为和，所以：

所以：

这样就得到了的一组：

上述方法就是二维空间中的施密特正交化，可以总结如下：

上述推导过程并没有被限制在中，所以它也可以完成开头提到的在三维空间中的平面上寻找的任务：

再来看看如何寻找三维的。

还是以特殊的三维为例。比如知道的一组，也就是下图中的三个：

先按照，将其中任意两个向量正交化：

然后向这两个向量的作垂线，从而得到三个正交向量，也就是的一组：

下面来进行代数推导，假设为、和：

任选两个向量，按照将其中任意两个向量正交化，得到和：

作出在上的投影，连接和就得到要求的垂线向量：

容易求出(因为、和构成三角形，所以根据有。又投影在的上，所以是的，可假设：

因此：

因为垂直于的，所以必然垂直于和，所以有：

注意到和，即有，根据上面的方程组可以分别推出：

所以：

这样就得到了的一组：

上述方法就是三维空间中的施密特正交化，可以总结如下：

更高维度的情况以此类推，这里不再赘述。