欧拉公式，被誉为上帝公式， e、 i 、 pi 、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。

1 复数

在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。

1.1 $i$的由来

$i=\sqrt{-1}$，这个就是$i$的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。

可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：

• 从自然数扩张到整数： 增加的负数可以对应“欠债、减少”
• 从整数扩张到有理数： 增加的分数可以对应“分割、部分”
• 从有理数扩张到实数： 增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（$\sqrt{2}$）”
• 从实数扩张到复数： 增加的虚数对应什么？

虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。

看起来我们没有必要去理会$\sqrt{-1}$到底等于多少，我们规定$\sqrt{-1}$没有意义就可以了嘛，就好像$\frac{1}{0}$一样。

我们来看一下，一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$的万能公式：其根可以表示为：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其判别式$\Delta =b^2-4ac$。

• $\Delta >0$： 有两个不等的实数根
• $\Delta =0$： 有两个相等的实数根
• $\Delta <0$： 有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？

我们再看一下，一元三次方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0)$，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考 维基百科 ，但愿大家能够打开。

我们讨论一下$b=0$，此时，一元三次方程可以化为$x^3+px+q=0$，其根可以表示为：

$ \begin{cases} x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_2=\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}\\ x_3=\omega ^2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\omega \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}} \end{cases} $

其中$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$。

判别式为$\Delta =(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3$，注意观察解的形式，$\Delta $是被包含在根式里面的。

• $\Delta >0$： 有一个实数根和两个复数根
• $\Delta =0$： 有三个实数根，当$p=q=0$，根为0，当$p,q\neq 0$，三个根里面有两个相等
• $\Delta <0$： 有三个不等的实根！懵了，要通过复数才能求得实根？

要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根，但是在当时并不知道，所以开始思考复数到底是什么？

我们认为虚数可有可无，虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物，只在形式上被定义，但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在，并且成为重要的分支。

1.2 复平面上的单位圆

在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：

我们来动手玩玩单位圆：

1.3 复平面上乘法的几何意义

同样来感受一下：

2 欧拉公式

欧拉公式在形式上很简单，是怎么发现的呢？

2.1 欧拉公式与泰勒公式

关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章：

如何通俗地解释泰勒公式？ 。

欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的：

$e^ x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots $

$sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots $

$cos(x)=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+\cdots $

将$x=i\theta $代入$e$可得：

$$\begin{align*} e^{i\theta } & = 1 + i\theta + \frac{(i\theta )^2}{2!} + \frac{(i\theta )^3}{3!} + \frac{(i\theta )^4}{4!} + \frac{(i\theta )^5}{5!} + \frac{(i\theta )^6}{6!} + \frac{(i\theta )^7}{7!} + \frac{(i\theta )^8}{8!} + \cdots \\ & = 1 + i\theta - \frac{\theta ^2}{2!} - \frac{i\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^4}{4!} + \frac{i\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^6}{6!} - \frac{i\theta ^7}{7!} + \frac{\theta ^8}{8!} + \cdots \\ & = \left( 1 - \frac{\theta ^2}{2!} + \frac{\theta ^4}{4!} - \frac{\theta ^6}{6!} + \frac{\theta ^8}{8!} - \cdots \right) + i\left(\theta -\frac{\theta ^3}{3!} + \frac{\theta ^5}{5!} - \frac{\theta ^7}{7!} + \cdots \right) \\ & = \cos \theta + i\sin \theta \end{align*}$$

那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢？

2.2 对同一个点不同的描述方式

我们可以把$e^{i\theta }$看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点，$cos\theta +isin\theta $通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有$e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta $。

2.3 为什么$e^{i\theta }$是圆周运动？

这是实数域上的定义，可以推广到复数域$\displaystyle e^ i=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{i}{n})^ n$。根据之前对复数乘法的描述，乘上$(1+\frac{i}{n})$是进行伸缩和旋转运动，$n$取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。

我们来看看$e^ i=e^{i\times 1}$如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的：

从图上可以推出$n\to \infty $时，$e^ i$在单位圆上转动了1弧度。

再来看看$e^{i\pi }$，这个应该是在单位圆上转动$\pi $弧度：

看来$e^{i\theta }$确实是单位圆周上的圆周运动。

动手来看看$e^{i\theta }$是如何运动的吧：

2.4 $2^ i$的几何含义是什么？

$2^ i$看不出来有什么几何含义，不过我们稍微做个变换$e^{iln2}$，几何含义还是挺明显的，沿圆周运动$ln2$弧度。

2.5 欧拉公式与三角函数

根据欧拉公式$e^{i\theta } = \cos \theta +i\sin \theta $，可以轻易推出：

$\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$和$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$。三角函数定义域被扩大到了复数域。

我们把复数当作向量来看待，复数的实部是$x$方向，虚部是$y$方向，很容易观察出其几何意义。

2.6 欧拉恒等式

当$\theta =\pi $的时候，代入欧拉公式：

$e^{i\pi }=cos\pi +isin\pi =-1\implies e^{i\pi }+1=0$。

$e^{i\pi }+1=0$就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式，$e$、$\pi $、$i$、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。