如何理解最小二乘法?

最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。

最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。

----乔治·斯蒂格勒的《The History of Statistics》

1 日用而不知
来看一个生活中的例子。比如说,有五把尺子:
用它们来分别测量一线段的长度,得到的数值分别为(颜色指不同的尺子):
之所以出现不同的值可能因为:
  • 不同厂家的尺子的生产精度不同
  • 尺子材质不同,热胀冷缩不一样
  • 测量的时候心情起伏不定
  • ......
总之就是有误差,这种情况下,一般取平均值来作为线段的长度:
日常中就是这么使用的。可是作为很事'er的数学爱好者,自然要想下:
  • 这样做有道理吗?
  • 用调和平均数行不行?
  • 用中位数行不行?
  • 用几何平均数行不行?
2 最小二乘法
换一种思路来思考刚才的问题。
首先,把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中,分别记作
其次,把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示(因为是猜测的,所以用虚线来画),记作
每个点都向做垂线,垂线的长度就是,也可以理解为测量值和真实值之间的误差:
因为误差是长度,还要取绝对值,计算起来麻烦,就干脆用平方来代表误差:
总的误差的平方就是:
因为是猜测的,所以可以不断变换:
自然,总的误差也是在不断变化的。
法国数学家,阿德里安-馬里·勒讓德(1752-1833,这个头像有点抽象)提出让总的误差的平方最小的就是真值,这是基于,如果误差是随机的,应该围绕真值上下波动(关于这点可以看下“如何理解无偏估计?”)。
这就是最小二乘法,即:
这个猜想也蛮符合直觉的,来算一下。
这是一个二次函数,对其求导,导数为0的时候取得最小值:
进而:
正好是算术平均数。
原来算术平均数可以让误差最小啊,这下看来选用它显得讲道理了。
以下这种方法:
就是最小二乘法,所谓“二乘”就是平方的意思,台湾直接翻译为最小平方法。
3 推广
算术平均数只是最小二乘法的特例,适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。
比如温度与冰淇淋的销量:
看上去像是某种线性关系:
可以假设这种线性关系为:
通过最小二乘法的思想:
上图的分别为:
总误差的平方为:
不同的会导致不同的,根据多元微积分的知识,当:
这个时候取最小值。
对于而言,上述方程组为线性方程组,用之前的数据解出来:
也就是这根直线:
其实,还可以假设:
在这个假设下,可以根据最小二乘法,算出,得到下面这根红色的二次曲线:
同一组数据,选择不同的,通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线(出处):
不同的数据,更可以选择不同的,通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线:
也不能选择任意的函数,还是有一些讲究的,这里就不介绍了。
4 最小二乘法与正态分布
我们对勒让德的猜测,即最小二乘法,仍然抱有怀疑,万一这个猜测是错误的怎么办?
数学王子高斯(1777-1855)也像我们一样心存怀疑。
高斯换了一个思考框架,通过概率统计那一套来思考。
让我们回到最初测量线段长度的问题。高斯想,通过测量得到了这些值:
每次的测量值都和线段长度的真值之间存在一个误差:
这些误差最终会形成一个概率分布,只是现在不知道误差的概率分布是什么。假设概率密度函数为:
再假设一个联合概率密度函数,这样方便把所有的测量数据利用起来:
讲到这里,有些同学可能已经看出来了上面似然函数了(关于似然函数以及马上要讲到的极大似然估计,可以参考“如何理解极大似然估计法?”)。
因为是关于的函数,并且也是一个概率密度函数(下面分布图形是随便画的):
根据极大似然估计的思想,概率最大的最应该出现(既然都出现了,而我又不是“天选之才”,那么自然不会是发生了小概率事件),也就是应该取到下面这点:
当下面这个式子成立时,取得最大值:
然后高斯想,最小二乘法给出的答案是:
如果最小二乘法是对的,那么时应该取得最大值,即:
好,现在可以来解这个微分方程了。最终得到:
这是什么?这就是正态分布啊。
并且这还是一个充要条件:
也就是说,如果误差的分布是正态分布,那么最小二乘法得到的就是最有可能的值。
那么误差的分布是正态分布吗?
我们相信,误差是由于随机的、无数的、独立的、多个因素造成的,比如之前提到的:
  • 不同厂家的尺子的生产精度不同
  • 尺子材质不同,热胀冷缩不一样
  • 测量的时候心情起伏不定
  • ......
那么根据中心极限定理(参考“为什么正态分布如此常见?”),误差的分布就应该是正态分布。
因为高斯的努力,才真正奠定了最小二乘法的重要地位。
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