最开始我们就提到了，曲线下微小的矩形是“微分”：

把这些“微分”加起来就是“积分”，就可以得到曲线下的面积：

上一章定义了极限，解决了微积分中的第一个问题，什么是“无限接近0”：

下面我们开始研究数学上什么是“微分”，怎么把“微分”加起来完成“积分”。

比如要求，在下的面积：

把平均分成份，每份长为：

这些点的坐标是这么一个数列（把点去掉）：

点之间的间隔为，所以上述数列可以简写为：

以这些坐标为终点，宽为，高为作矩形：

每个矩形面积为，它们的面积和为：

已知其中的级数：

所以上面的式子继续算下去：

因为，代入上式可得：

当的时候，矩形面积和就是曲面下的面积：

从数学上就是，曲面下面积为：

在极限的帮助下，算出了曲面下的面积。

既然得到了曲面下的面积了，是不是微积分课程完了？并没有，实际上刚刚开始。

上述计算方法早在微积分这门学科正式成立之前就有了。

博纳文图拉·弗兰切斯科·卡瓦列里（1598 －1647），意大利几何学家。在他的著作中就提到了上面这个求解方法，那时候还没有极限，他是直觉地认为当足够大时：

把矩形面积加起来就需要计算级数（级数就是数列的和），但级数的计算往往很复杂。

欧拉就是一个级数计算大师，当时很多数学家求“积分”时，算不出级数就向欧拉求救，所以有句话是这么说的：“欧拉，他是所有人的老师”（出自另外一位数学家拉普拉斯之口）。

之前说了，可以用内接多边形来逼近圆的面积：

也可以换个思路，用小三角形的和来逼近圆的面积：

“圆内小三角形的和”与“曲线下的矩形和”看起来异曲同工，但毕竟三角形和矩形还是不一样，能否把这两者统一起来？

还有，能不能用微积分来计算一段曲线的长度（马上就可以看到如何去做）：

例子可能举得还不够好、不够多，但可以看出目前所学的微积分还不够抽象，不足以解决更多问题。

不管是为了计算更加简便，还是为了扩大微积分的应用范围，我们都需要开始新的学习。

不管为了计算的便利性，还是覆盖更多的应用场景，都需要把“微分”这个概念抽象出来。

比如，想求区间内曲线下的面积：

把平均分成份，每份长为，每个对应一个：

很显然：

从里面随便选一份，为了表示一般性，其面积记为：

在同样的位置，以为底、为高作矩形，其面积记为：

很显然，随着，与会无限接近：

实际上两者都是无穷小：

“微分”是对“差分”的近似，以“直”代“曲”（“微分”就是“直”，“差分”就是“曲”），也叫做线性近似：

在极限下有（因为，所以相当于）：

其中，对应之前的。

稍微总结下：

要求圆的面积：

同样的可以把它均分为个扇形：

很显然，也可以用三角形去近似这些扇形：

这里，小扇形就是“差分”，小三角形就是“微分”，以三角形的“直”去代替扇形的“曲”。

要求这条曲线的长度：

可以把它分为个曲线段：

用端点的连线来近似这些曲线段：

越大，近似效果越好：

这里，曲线段就是“差分”，直线段就是“微分”，以直线段的“直”去代替曲线段的“曲”。后面会学到，这个直线段就是“弧微分”。

“微分”是“差分”的线性近似，是对“以直代曲”思想的数学表达。

有了“微分”之后，上述几种“积分”（包括面积、曲线长度等）就可以统一表示为：

上述几种“微分”的严格定义不尽相同，这里暂不给出，后面不断完善。