最开始我们就提到了,曲线下微小的矩形是“微分”:
把这些“微分”加起来就是“积分”,就可以得到曲线下的面积:
上一章定义了极限,解决了微积分中的第一个问题,什么是“
下面我们开始研究数学上什么是“微分”,怎么把“微分”加起来完成“积分”。
比如要求
把
这些点的坐标是这么一个数列(把
点之间的间隔为
以这些坐标为终点,宽为
每个矩形面积为
已知其中的级数:
所以上面的式子继续算下去:
因为
当
从数学上就是,曲面下面积
在极限的帮助下,算出了曲面下的面积。
既然得到了曲面下的面积了,是不是微积分课程完了?并没有,实际上刚刚开始。
上述计算方法早在微积分这门学科正式成立之前就有了。
博纳文图拉·弗兰切斯科·卡瓦列里(1598 -1647),意大利几何学家。在他的著作中就提到了上面这个求解方法,那时候还没有极限,他是直觉地认为当
这种计算方法简单粗暴,比如,想求正弦函数曲线下
还是把
这个级数怎么算呢?根据和差化积公式可知:
令
把
右边:
左边=右边,所以:
对其求极限:
也就是说,正弦函数曲线下
把矩形面积加起来就需要计算级数(级数就是数列的和),但级数的计算往往很复杂。
欧拉就是一个级数计算大师,当时很多数学家求“积分”时,算不出级数就向欧拉求救,所以有句话是这么说的:“欧拉,他是所有人的老师”(出自另外一位数学家拉普拉斯之口)。
之前说了,可以用内接多边形来逼近圆的面积:
也可以换个思路,用小三角形的和来逼近圆的面积: