微分是什么?

最开始我们就提到了,曲线下微小的矩形是“微分”:

把这些“微分”加起来就是“积分”,就可以得到曲线下的面积:

上一章定义了极限,解决了微积分中的第一个问题,什么是“无限接近0”:

下面我们开始研究数学上什么是“微分”,怎么把“微分”加起来完成“积分”。

1 积分

比如要求,在下的面积:

平均分成份,每份长为

这些点的坐标是这么一个数列(把点去掉):

点之间的间隔为,所以上述数列可以简写为:

以这些坐标为终点,宽为,高为作矩形:

每个矩形面积为,它们的面积和为:

已知其中的级数:

所以上面的式子继续算下去:

因为,代入上式可得:

的时候,矩形面积和就是曲面下的面积:

从数学上就是,曲面下面积为:

在极限的帮助下,算出了曲面下的面积。

2 新的开始

既然得到了曲面下的面积了,是不是微积分课程完了?并没有,实际上刚刚开始。

2.1 计算复杂

上述计算方法早在微积分这门学科正式成立之前就有了。

博纳文图拉·弗兰切斯科·卡瓦列里(1598 -1647),意大利几何学家。在他的著作中就提到了上面这个求解方法,那时候还没有极限,他是直觉地认为当足够大时:

这种计算方法简单粗暴,比如,想求正弦函数曲线下之间的面积,也可以通过矩形和来计算,但是计算起来并不简单:

还是把区间等分,则矩形的面积和为:

这个级数怎么算呢?根据和差化积公式可知:

,那么:

代回,左边:

右边:

左边=右边,所以:

对其求极限:

也就是说,正弦函数曲线下之间的面积为2,不容易啊,算出来不容易啊。

把矩形面积加起来就需要计算级数(级数就是数列的和),但级数的计算往往很复杂。

欧拉就是一个级数计算大师,当时很多数学家求“积分”时,算不出级数就向欧拉求救,所以有句话是这么说的:“欧拉,他是所有人的老师”(出自另外一位数学家拉普拉斯之口)。

2.2 不够抽象

之前说了,可以用内接多边形来逼近圆的面积:

也可以换个思路,用小三角形的和来逼近圆的面积: