之前笼统地介绍了微分大概是什么？本节来认识第一个的微分：切线。

先描述下，它是怎样一个微分。比如，有曲线:

给出的曲线段:

要找到一个直线段来近似这个曲线段，也就是找到这个曲线段的微分：

此微分的特点是，当时，越来越逼近曲线段：

描述清楚此微分后，本文会详细讲明白以下两点：

• 怎么求这个微分？
• 为什么它是微分？

1 切线

这个微分其实就是切线。

初学几何的时候，切线是这么定义的：

比如这就是圆、椭圆的切线：

但是这个定义推广到所有曲线上是不成立的：

我们需要用极限来定义切线。比如说，要求曲线在点的切线：

在附近找一点，过两点作直线，这根直线也称为割线：

然后寻找与之间的点，作出割线：

以此类推，找到点，作出割线：

把这些割线组成数列：

它的极限就是切线：

假设点的坐标为：

那么，在足够小的邻域内，在点的切线与曲线有一个交点还是两个交点？

在足够小的邻域内，点的切线与曲线有一个交点。

可以这么思考，在足够小的邻域内，与曲线有两个交点的，也就是割线，都在数列中：

而：

所以只有一个交点。

这里说明得很不严格，只是让同学们进一步理解极限。

2 导数

刚才只是给出了切线的定义，但是还是不能把切线求出来。下面来看看怎么求。

要求点的切线，知道了点坐标为，以及切线的斜率：

其中，根据直线的点斜式，可求得切线函数：

就可以得到切线的函数。

容易有以下推论：

所以来看看割线的斜率怎么求吧。假设要求点的切线的斜率，随便在附近找一点作割线：

可以看到当的时候（这也表明了切线是割线的极限），两者斜率不断逼近：

先把割线的斜率算出来，假设：

因此：

根据刚才的分析可知：

这个极限就被称为导数：

定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该邻域内)时，相应的，因变量取得增量。

如果与之比当时的极限存在，那么称函数在点处，并称这个极限为函数在点处的，记为，即：

也常写作：

练习 设在的某邻域内有定义，则在处可导的一个充分条件是： 存在 存在 存在 存在 在点处可导的充要条件是以下极限存在：

从这个充要条件出发来分析下各个选项。

A

先变一下形，变成标准形式，令：

变形之后很明显了，这只是单边极限，肯定不符合可导的定义。

B

先变一下形，变成标准形式：

对于，是可以不等于0的，所以：

还有同学说，这么做也是极好的：

肯定是错的，关键是错在哪里：

C

先变一下形，变成标准形式，令：

所以C选项实际上和B选项是一致的，求的也不是点处的导数。

还可以给一个反例，对于如下函数：

实际上求的是下面这个直线的极限：

容易知道在这里：

但是此函数在处不可导，这点后面会证明。

D

D答案是正确的，不相信就自己变换一下标准形式。

如果，不光在点可以作出切线，也就是不光在点可导，而是在某个开区间内都可导：

这就是导函数：

导数是某一点切线的斜率，导函数就是区间内所有点的切线的斜率构成的函数：

不少教科书、文档会出现如下的符号，这里也一并引入：

定义，称之为，导函数可以用之表示为：

有时候写作，表明对自变量求导。

算子，英文为“operator”，操作的意思。

算子和函数还是很接近的，只是有以下区别：

在这里，算子完成了如下函数之间的映射：

3 切线函数与微分函数

好了，咱们有了导数，可以来求切线函数以及微分函数了。

就切线而言，知道要经过，也知道斜率是导数，可以用直线的点斜式得到：

虽然之前一直说切线就是微分，但是微分函数和切线函数有所不同，因为它们在不同的坐标系。让我们一步步来，把这个关键点说清楚。

首先令，切线函数就变为了：

然后在以点为原点建立直角坐标系（姑且称为微分坐标系吧）：

以点为原点建立的微分坐标系中有，。这样在微分坐标系中切线方程就很简单了：

经过一系列操作终于得到了，在不妨碍理解的情况下可简称为：

数学上把一系列操作用一个符号来表示，也可称为：

在这里，微分算子完成了下列的函数映射：

注意，运用算子的时候，上面一系列过程很重要，这点我们后面还会有更多的例子。

所以微分函数也写作：

同样，在不妨碍理解的情况下，可以去掉，简写为：

把原函数通过操作变为了微分函数，这样也区别了微分函数和坐标系不同。

，因为是变量，所以实际上表示的是整个轴：

所以代表轴这根直线。直线的微分，根据以直代曲的思想，其实就是自己，所以：

当然也可以严格点。假设：

则：

所以：

因此，微分函数的完整代数形式为：

所以导数也可以记作：

所以导数也称为“微商”，即微分与微分的商。

切线函数和微分函数的区别在于，前者在坐标系下，后者在坐标系下：

如果是函数任意点的微分，那么通过算子可以得到：

下面两者：

的区别与联系可以如下图示（多取几个点做切线来代表）：

下面问题来了，作为函数，它们的自变量是什么？因变量是什么？

微分函数在坐标系下，令，换元之后就回到了坐标系：

可见，自变量是，因变量是。

而函数的微分是二元函数，除了是自变量以外，切点也是自变量：

虽然两者都是直线，但因为所在坐标系不同，所以切线函数和微分函数有一个重大的区别：

这个区别说明：

线性代数中的线性映射要满足两个条件，这两个条件蕴含了线性映射必须过原点：

• 齐次性：
• 可加性：

令，换元之后微分函数写成：

那么很容易验证微分函数满足这两点：

• 齐次性：
• 可加性：

而切线函数两点都不满足。

证明微分函数是线性映射之后，海量的线性代数中的数学定理都可以直接拿过来使用了。比如求法线。

在切点与切线垂直的直线就是法线：

放在坐标系中，随便找到切线方向、法线方向两个向量：

即（t代表tangent，n代表normal，分别是英文的切线和法线）：

根据线性代数的知识，知道两个正交向量点积为0，因此：

所以：

知道法线斜率，并且知道过，就可以求出坐标系下的法线函数：

线性代数的相关知识对理解微积分很有好处，因为微积分的本质是“线性逼近，以直代曲”。不过这里为了课程的流畅，不再补充线性代数的知识，请同学自行学习，也可以参加我们的《马同学线性代数》收费课程。

4 为什么切线就是微分？

上面解释了什么是切线，切线怎么求，切线和微分之间的关系。

根据微分的定义，微分是对曲线的线性近似。可是为什么切线（换个坐标系）就是微分啊？数学上怎么验证切线是曲线的线性近似啊？

假设，曲线在点的切线函数为：

假如自变量的增量为，那么对应的因变量增量分别为：

图示如下：

这是对于微分的另外一种观点，微分是的线性增量，而差分是曲线增量。

通过代数可以看出微分（切线）是差分（曲线）的线性近似：

用图来表示：

下面来证明：

已知，在点可导，即：

根据极限和无穷小的关系，上式可推出：

其中，，由此又有：

而是，这点很容易推出：

所以：

这个代数换个形式就是：

这个代数式的意思就是，随着缩小，微分和差分会无限接近：

下面是微分的严格定义：

上面的定义主要就两个重点，这两个重点在本文都已经完整解释了：

• 线性函数：
• 线性近似：

还可以得到一个重要结论：

充分性：

已知，在点可导，即：

根据极限和无穷小的关系，上式可推出：

其中，，由此又有：

而是，这点很容易推出：

所以：

是不依赖于的常数，可设，可得：

所以，在点可微。

必要性：

已知，在点可微，即：

可以推出：

从而可得：

所以，在点可导。

5 总结

本节的内容特别多，主要介绍了：

• 导数：
• 导函数：
• 微分函数：
• 函数的微分：

本文的符号也特别多，这是因为微积分的从两位创始人手中产生之后：

经过多位大师发展，长达两三百年才逐渐定型，所以有很多不同的符号表示相同的含义：

• 导数：
• 导函数：
• 微分函数：
• 函数的微分：

上面这些符号分别是莱布尼兹、拉格朗日、欧拉等人的发明，牛顿的符号在物理学里面还可以见到，数学里面基本没有了。