之前笼统地介绍了微分大概是什么？本节来认识第一个的微分：切线。

先描述下，它是怎样一个微分。比如，有曲线:

给出的曲线段:

要找到一个直线段来近似这个曲线段，也就是找到这个曲线段的微分：

此微分的特点是，当时，越来越逼近曲线段：

描述清楚此微分后，本文会详细讲明白以下两点：

• 怎么求这个微分？
• 为什么它是微分？

这个微分其实就是切线。

初学几何的时候，切线是这么定义的：

比如这就是圆、椭圆的切线：

但是这个定义推广到所有曲线上是不成立的：

我们需要用极限来定义切线。比如说，要求曲线在点的切线：

在附近找一点，过两点作直线，这根直线也称为割线：

然后寻找与之间的点，作出割线：

以此类推，找到点，作出割线：

把这些割线组成数列：

它的极限就是切线：

刚才只是给出了切线的定义，但是还是不能把切线求出来。下面来看看怎么求。

要求点的切线，知道了点坐标为，以及切线的斜率：

其中，根据直线的点斜式，可求得切线函数：

就可以得到切线的函数。

容易有以下推论：

所以来看看割线的斜率怎么求吧。假设要求点的切线的斜率，随便在附近找一点作割线：

可以看到当的时候（这也表明了切线是割线的极限），两者斜率不断逼近：

先把割线的斜率算出来，假设：

因此：

根据刚才的分析可知：

这个极限就被称为导数：