第一章第六题

马同学

第一章第六题：证明下列等式

(1)

将行列式按照对角线法则展开：

注：对角线法则参考性质一。

(2)

行列式拆分：

可以看到，颜色相同的列线性相关。

展开后同时包含它们的项为。

注：行列式拆分参考性质二,有线性相关的行(列)的行列式参考性质三。

(3)

注：倍加某行(列)参考性质四。

(4)

将行列式按照第一列拉普拉斯展开：

注：倍加某行(列)参考性质四，拉普拉斯展开参考性质五。

(5)

将行列式按照第一行进行拉普拉斯展开：

第一个行列式继续按第一行展开：

注：拉普拉斯展开参考性质五

本题所涉及的性质

性质一

三阶行列式的对角线法则：

性质二

行列式拆分：

在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式：

性质三

在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为0：

性质四

将一行（列）的倍加进另一行（列）里，行列式的值不变：

性质五

将一个矩阵的行列式进行拉普拉斯展开，即是将其表示成关于矩阵的某一列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即:或将其表示成关于矩阵的某一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和：

我们用三阶行列式来说明：

将下面的行列式按照第一列展开：

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