.证明：

证：

两行(列)互换：

(2).证明：

证：

将上下翻转：

.证明：

证：

的步骤：

上下翻转：

行列互换：

上下翻转：

注：两行(列)互换参考性质一，参考性质二。

假设：

那么：

其中发生了对换，排列的奇偶性发生改变：

所以：

为了便于思考，进行符号替换：

替换之后：

因此按照定义：

为了不至于太难以理解，下面用三阶行列式来进行说明：

根据定义，的全排列以及符号为（脚标第一项都是按照“”排列的，第二项是全排列）：

按照之前的分析，需要的全排列以及符号为（脚标第二项都是按照“”排列的，第一项是全排列）：

的全排列：

通过调换顺序，可以得到的全排列：

具体过程如下：

推广到阶行列式，总能通过调换顺序得到（并且这种对应关系是唯一的）：

其中，为全排列的逆序数，为全排列的逆序数。

因此可以得到：