马同学

如何理解三大微分中值定理？

罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例。

微分中值定理是很重要的基础定理，很多定理都是以它为基础进行证明的。

1 罗尔中值定理
1.1 直觉

这是往返跑：

可以认为他从点出发，经过一段时间又回到了点，画成图就是：

根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点：

拳击比赛中，步伐复杂：

但不论怎样，只要最后回到起点，中间必定有速度为0的点：

这就是罗尔中值定理。

1.2 罗尔中值定理
定理 设函数满足以下三个条件：
  • 在闭区间上连续
  • 在开区间上可导

则存在，使得

 函数在区间上连续，则在上存在最大值和最小值。分以下两种情况进行讨论：

（1）。此时函数为常值函数，在上处处为。

（2）。因为，所以和至少有一个不在端点上。设不在端点上，且。显然是极大值点，由于在开区间上可导，所以根据费马定理，。

 练习 证明多项式方程：

每两个相邻实根之间，至少有多项式方程：

的一个实根。

 把第一个多项式方程的左边看作函数：

第二个多项式方程的左边实际上就是：

则上述问题变成了，的每两个相邻实根之间必有的实根。用几何来翻译下这个问题：

与轴的交点就是的实根，根据罗尔中值定理，两相邻实根之间至少有一个，也就是至少有的一个实根。

这个问题实际上是罗尔中值定理的起源。

米歇尔·罗尔（1652－1719），当时就是证明了上述结论。有意思的是罗尔是微积分的早期批评者，认为它不准确，建立于浮沙之上。

在1846年，意大利数学家贝拉维蒂斯将这个多项式结论推向可导函数，并将此命名为“罗尔中值定理”。

在闭区间连续是必须的，否则有可能没有：

在开区间可导也是必须的：

1.3 拓展

可能有的同学觉得，定理中的条件“在闭区间连续、在可导”比较古怪，为什么不是“在闭区间连续、在可导”？

大概有两个原因，首先，“开区间可导”条件更弱，包含了“闭区间可导”；其次，”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”，比如：

此函数在图像如下：

此函数就是在连续，可导，在端点处导数不存在（类似于在0点处不可导，可自行证明）。

2 拉格朗日中值定理

来看下交通管理中的区间测速：

时间采集到汽车的位移为，时间采集到汽车的位移为

可以据此算出平均速度为：

比如算出来平均速度为，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：

  • 匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然全为
  • 变速前进：整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于的情况

下面是变速前进的速度变换动画（蓝色为大于，闪烁为平行即等于，绿色为小于）：

如果限速，那么根据汽车的平均速度为，就可以判定路程中必然至少有一个点超速。

约瑟夫·拉格朗日伯爵（1736－1813）

约瑟夫·拉格朗日伯爵，法国籍意大利裔数学家和天文学家，以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。

2.1 拉格朗日中值定理
定理 设函数满足以下两个条件：
  • 在闭区间上连续
  • 在开区间上可导

则存在，使得

 引进辅助函数：

其导函数为：

满足：

  • 闭区间上连续
  • 开区间可导

根据罗尔中值定理可知，至少有一点，使得，即：

由此可得：

这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：

把左边旋转一下，使得，得到的就是右边的罗尔，可见罗尔是拉格朗日的特例：