一阶微分不变性，符合高等数学的概念的一贯特点，听上去云山雾罩，一旦明白了，就会觉得，这特么不是理所当然么？

1 一阶微分不变性

一元函数一阶微分的形式不变性：

令$y=f(u)$，有：

• 当$u$是自变量时，$dy=f'(u)du$。
• 当$u$是可微函数，$dy=f'(u)du$。

举个例子，$y=2x$：

• 令$u=x$，即$u$是自变量，可以得到$dy=2du=2dx$。
• 令$u=2x$，即$u$是可微函数，可以得$dy=du=d(2x)=2dx$。

2 一阶幂函数形式不变性

这里帮助理解，我引入了一个马同学发现的一阶幂函数不变性：

即令$y=f(u)$，有：

• 当$u$是自变量，即$u=x$，有$y^1=u^1=x^1$。
• 当$u$是函数时，比如$u=x+1$，有$y^1=u^1=x^1 + 1^1$。

看起来和一阶微分不变性挺像。

3 二阶微分不具有形式不变性

二阶微分如下：

• 当$u$是自变量时，二阶微分具有不变性，$dy=f'(u)du,d^2y=f"(u)du^2$。
• 当$u$是可微函数，二阶微分不具有不变性，$dy=f'(u)du,d^2y=f"(u)du^2+f'(u)d^2u$

可以看出二阶微分在可微函数的时候多出了一部分。

$u$是可微函数时具体的推导过程如下：

如$y=f(u),u=g(x)\implies dy=f'(u)g'(x)dx$

$\implies d^2y=f"(u)g'(x)dx+f'(u)g"(x)dx^2$

因为$du=g'(x)dx,d^2u=g"(x)dx^2$

$\implies d^2y=f"(u)du^2+f'(u)d^2u$

从推导中可以看出，多出一部分的原因就在于$u$是一个可微函数。

4 二阶幂函数不具有形式不变性

• 当$u$是自变量，即$u=x$，有$y^2=u^2=x^2$。
• 当$u$是函数时，比如$u=x+1$，有$y^1=u^2=(x+1)^2=x^2+1^2+2x$。

看起来$u$是函数时，二阶幂函数也多出了一部分。

5 结论

把一阶微分形式不变性和一阶幂函数形式不变性拿来类比，看起来像是个歪理邪说，不过，内在的原因是一样的，如果$u$是函数或者可微函数，在二阶的时候（不论幂还是微分），产生的结果会更加复杂，所以没有了形式不变性。

所以，一阶微分形式不变性为什么成立，最重要原因在于它仅仅是‘一阶’。