反函数求导的例题

请求出下列函数的反函数的

(1),(2),(3)

(1)求在整个定义域内且当,根据,所以有:

但要求的是,所以还需要进行改写:

因为,所以时有,从而上式可以改写为:

进行下符号替换,即将替换为,就可以得到:

为了帮助理解,这里将函数以及其反函数的图像画出来,如下图所示。

函数以及其反函数的图像

从上图可以看出:

  • 函数在整个定义域内
  • 反函数。直观上解释一下,反函数时的切线,也就是近似附近曲线的直线为,该直线的斜率为,即此时不存在

        (2)求在区间,根据,所以有:

因为当,利用三角恒等式,所以上式可改写为:

因为,所以时有,从而上式可以改写为:

最终将上式中的将替换为,就可以得到:

同样的方法可以得到

        (3)求在区间,根据,以及,所以有:

因为,所以,从而上式可以改写为:

最终将上式中的将替换为,就可以得到:

同样的方法可以得到

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马同学高等数学
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