定理（泰勒定理 2）.如果函数在的某个内具有阶，那么对任一，有：

其中：

这里是与之间的某个值。

证明 .令：

假设，由条件可知，在内有阶，且（根据假设可知：

所以：

同样的，可算出。

）：

对函数和在以及为端点的区间上应用，可得：

因为是变量，所以也是变量，所以再对函数及在以及为端点的区间上应用，可得：

如此反复，经过次后可得：

注意到（因为），所以：

“”和“泰勒定理 2”，两者大同小异，这里进行一下比较：

为了区分，也称作 皮亚诺余项 （Peano form of the remainder）；而被称作 拉格朗日余项 （Lagrange form of the remainder）。