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定积分的换元法

本课介绍一种计算的技巧。

1 定积分的换元法
若函数在区间上，函数满足：

        （1）；

        （2）在（或）上具有连续导数，且其值域，

则有:

 根据条件，结合上及，可知和都、，且都存在。

设是的一个，根据，有：

设，根据，可得：

这说明是的一个，根据，有：

又由及可知：

所以：

定积分的换元法和有点类似，这里进行一下比较：

  • 不定积分换元时，只需要替换；而定积分换元时，还需要替换
  • 不定积分换元后还需要将进行回代，以便得到以为自变量的；而定积分换元法不要求存在反函数，这是因为换元后运用就可得到结果，不需要回代（或直观理解为定积分就是计算面积的，换元法算出面积后，就不用回代了）
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