应用非常广泛（在下一单元微积分应用中就会看到更多的例子），但是有一些限制条件：

• 要求函数定义在闭区间上
• 要求函数有界

针对上述限制，数学家对进行了两种推广，从而形成了本课将要介绍的 反常积分 （Improper integral）。

本节先把推广到无穷区间上，下面来看看这种推广是如何定义的。

举例说明上述定义。先来看看其中的（1），如下图所示，函数在区间上，是。

随着上限，就得到了在区间上的反常积分，如下图所示，其中绿色曲边梯形的右侧边界在正无穷远处。若该极限存在，那么就说该反常积分收敛，否则发散。

定义（2）是的情况，如下图左侧所示，其中蓝色曲边梯形的左侧边界在负无穷远处；定义（3）是的情况，如下图右侧所示，其中红色曲边梯形的两侧边界在无穷远处。