无界函数的反常积分

马同学

现在我们把推广到函数无界时的情况，下面是推广的细节。

1 瑕点

若函数在点的任一内都无界，那么点称为函数的瑕点，或称为无界间断点。

比如函数在点的任一内都无界，所以点是该函数的一个瑕点，如下图所示。

点是函数的一个瑕点

2 无界函数的反常积分

以下三种反常积分统称为无界函数的反常积分，因都包含瑕点，故也称为瑕积分：

（1）若函数在区间上，点为函数的瑕点，任取，代数式称为函数在区间上的反常积分，记作，即：

若上述存在，则称该反常积分收敛，极限值为该反常积分的值；否则称该反常积分发散。

（2）若函数在区间上，点为函数的瑕点，任取，代数式称为函数在区间上的反常积分，记作，即：

若上述存在，则称该反常积分收敛，极限值为该反常积分的值；否则称该反常积分发散。

（3）若函数在区间上及区间上，点为函数的瑕点，则反常积分与反常积分之和称为函数在区间上的反常积分，记作，即：

若上述之和存在，则称该反常积分收敛，和值为该反常积分的值；否则称该反常积分发散。

举例说明上述定义。先来看看定义（1），如下图所示，函数在区间上，点为函数的瑕点，是积分下限函数（就是交换积分上下限）。

在区间上连续的函数，及积分下限函数

随着下限，就得到了在区间上的反常积分，如下图所示。若该极限存在，那么就说该反常积分收敛，否则发散。

时，就得到了在区间上的反常积分

定义（2）是的情况，如下图左侧所示；定义（3）是的情况，如下图右侧所示。

区间上的反常积分，以及区间上的反常积分

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