上一节为我们提供了定义曲线长度的思路，本节来介绍具体应该怎么定义。

举例说明下，若函数符合上述定义，则其有的，这意味着其微分的斜率是连续变化的。从几何上观察的话，如下图所示，随着切点的移动，该点的微分在顺滑地“转动”。该函数的曲线看上去也符合我们对“光滑”的直觉。

这里来看一个反例，比如：

该函数的曲线在点剧烈地振荡，看上去并不光滑，如下图所示。

该函数的如下，其在点。

上述给出的就是光滑曲线长度的定义（不是所有的曲线都可以求长度的，不过光滑曲线是一定可以求长度的，这里不作进一步的解释），大意就是各个线段长度之和就是光滑曲线的长度，和之前的分析是一样的。下面是进一步的解释，其中的细节和介绍时类似，有疑惑的话可以回看一下。

在中任意插入若干个分点，将分成个小区间，如下图所示。仔细观察函数在小区间上的曲线，该曲线的长度可记作弧长。

在区间上随便挑选一点，作出函数在该点的切线，如下图所示。

按照下述规则作出直角三角形，其图像如下图所示。

• 斜边为该切线在区间上的一段，记作
• 底边记作，其值为
• 高记作，因为切线的斜率为，所以有

所以可算出斜边的长度，也就是切线段的长度如下：

根据微积分“以直代曲”的思想，可认为弧长近似等于切线段长度，即：

记函数在之间的曲线的长度为，该长度可近似为如下：

令，因为函数在区间上光滑，即在区间上，根据，所以时上述的极限存在，也就是。所以定义：

其中用于近似弧线段的切线段称为该弧线段的，简称弧微分，记作。所以弧长公式可以理解为弧微分之（积分）和：