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矩阵运算(下)--幂运算与转置

1 矩阵的幂
有了矩阵的乘法，就可以定义矩阵的幂。

设是阶方阵,定义其中为正整数，这就是说，就是个连乘。显然只有方阵的幂才有意义。

已知
求
计算下面的矩阵
已知
求
已知
求
2 转置矩阵
2.1 定义
从前面矩阵乘法的运算规则中，为了满足合法性我们发现。
同一个向量
  • 写成列向量时，应该使用左乘()进行计算。
  • 写成行向量时，应该使用右乘()进行计算。
因此有必要显示的表达出到底是列向量形式，还是行向量形式,我们引入转置矩阵的概念。

把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做的转置矩阵，记做,例如矩阵:的转置为矩阵:

用一副动画来帮助记忆：
根据定义，很容易得出，列向量和行向量互为转置矩阵的结论。
这时，再规定，向量默认为列向量，则行向量就应该用转置形式来表达。
这样列观点的矩阵乘法形式保持不变:
而行观点就写为:
2.2
转置矩阵有一个重要的性质就是
这个用矩阵乘法的运算规则，展开就可以得到，这里就不证明了。
同样的，用一个动画来帮助记忆
,矩阵称为对称矩阵，,矩阵称为反对称矩阵
已知是对称矩阵，证明也是对称矩阵。
是对称矩阵，则
是对称矩阵
是对称矩阵
递归法可以得到，是对称矩阵。
3 习题
练习题
判断题：对称矩阵一定是方阵。
是
否
对称矩阵的定义为
假设为的矩阵，则为的矩阵。
为方阵
对称矩阵一定是方阵
判断题：均为阶对称矩阵,则也是阶对称矩阵
是
否
当时，才为对称矩阵
是反对称矩阵，则也是反对称矩阵。
是
否
是对称矩阵。
为反对称矩阵:是对称矩阵，是反对称矩阵。可以自己尝试证明。
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