常数变易法

马同学

之前介绍过可通过来求解，该方法也适用于，本节来学习一下。

1 常数变易法

这里进行举例说明，假设二阶非齐次线性微分方程的为，对应二阶齐次线性微分方程的为：

根据，所以二阶非齐次线性微分方程的为：

对其进行变形：

所以说在形式上，齐次与非齐次的的区别就是将常数系数变为函数系数，这就是常数变易法：

上述结论推广到阶也是成立的：

2 二阶非齐次微分方程的通解

已知的为，请求出的。根据上述的常数变易法，可知的形如：

下面的任务就是要求出、。先求出一阶导：

为简化运算，设（这样在之后的计算中就不会出现和了，若作此假设后算不出来，可考虑别的方法），可得：

在简化的基础上继续求出二阶导：

将、和回代到可得：

整理后可得：

、是齐次解，从而、，所以上式可化简为：

结合之前的假设，我们可以得到如下的方程组，其中、是未知数：

上述方程组可在的帮助下改写为：

若的：

根据，那么有唯一解：

存在的话，有：

所以的为：

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