介值定理

1 介值定理
设函数在闭区间上连续,且在此区间的端点取不同的函数值,即:

则对于之间的任意一个数,在开区间内至少有一点使得:

,易知在闭区间上连续,且异号。根据可知,开区间上至少有一点使得:

该定理说的是,对于闭区间上的连续函数,只要位于之间,那么必然有,如下图所示。

位于之间,有

2 介值定理的推论
在闭区间上连续的函数,其值域为闭区间,其中依次为 以及,其中。在(或)运用介值定理可知可取到区间的一切值,又以及,所以的值域

上述推论说的是,闭区间上的连续函数的函数值会在之间,如下图所示。

连续函数的函数值会在最小值和最大值之间变化

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马同学高等数学
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