独立性

前面我们介绍过一个重要的事件关系--互斥。若两个事件没有交集，则称两个事件时互斥的。

比如一个骰子的正面和反面就是互斥的。因为在一次扔骰子的实验中，正面和反面并不可能同时出现。

如果事件 $B$ 在事件 $A$ 发生的条件下，概率并没有发生变化，则称 $A$ 和 $B$ 为独立事件。

还是以掷骰子为例，第一次掷骰子出正面(事件 $A$ )与第二次掷骰子出正面( $B$ )就是独立事件。因为第一次出了正面后，第二次出正面的概率并没有变化。

前面虽然告诉你了第二次抛掷结果与第一次的结果无关，但很多人还是会陷入赌徒谬误。

你抛一个硬币两次，结果全是"正面"……下一次抛掷的结果也是"正面"的机会是多少？

1/2

1/8

赌徒谬误的思想是。抛一个公平硬币，正面朝上的机会是 $\displaystyle \frac {1}{2}$ ，连续两次抛出正面的机率是

现在已经连续出现了两次正面，那么第三次出现正面的概率就应该是

以上论证步骤犯了谬误。假如硬币公平，定义上抛出反面的概率永远等于 $\displaystyle\frac {1}{2}$ ，不会增加或减少，抛出正面的概率同样永远等于 $\displaystyle\frac {1}{2}$ 。连续抛出三次正面的概率等于 $\displaystyle \frac {1}{8}$

但这是指未抛出第一次之前。抛出两次次正面之后，由于结果已知，在计算时会考虑为 1，即必然发生。无论硬币抛出过多少次和结果如何，下一次抛出正面和反面的概率仍然相等。

实际上，由于每次抛硬币都是独立事件，因此计算出 $\displaystyle \frac {1}{8}$ 概率是把抛硬币当成连续事件。因为之前抛出了多次正面，而论证今次抛出反面机会较大，属于谬误。

设 $A,B$ 是试验的两事件，若 $A$ 的发生，对 $B$ 的发生没有影响 $P(B|A)=P(B)$ ,这时有:

$P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)$

那么称 $A,B$ 相互独立，简称 $A,B$ 独立

第一次投掷硬币出现正面的事件(A),与第二次投掷硬币出现的事件(B)是两个独立事件。因为它们符合:

也就是在 $A$ 事件发生的情况下，以 $A$ 为样本空间，得到的 $AB$ 同时发生的概率，与 $A$ 事件发生的概率相同。

一台戏有两位主要演员甲与乙，考察如下两个事件

$A=演员甲准时到达排练场$

$B=演员乙准时到达排练场$

并设 $A$ 与 $B$ 独立，假如 $P(A)=0.95,P(B)=0.7$ ,那么两演员中仅有一位准时到场的概率为:

0.665

0.015

0.32

以上皆不正确

从上面的图中，我们可以很容易的看出独立事件与互斥事件的不同。其中独立事件时允许事件间有交集的，而互斥事件不允许。

若 $A,B$ 相互独立，则下面不相互独立的事件是

$A,\overline{A}$

$A,\overline{B}$

$\overline{A},B$

$\overline{A},\overline{B}$

设 $A,B,C$ 是三个事件，如果满足等式: $\begin{cases} P(AB)=P(A)P(B)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(AC)=P(A)P(C) \end{cases}$

则称 $A,B,C$ 是两两独立。若还有

$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

则称 $A,B,C$ 相互独立。

根据定理，两个独立事件若两两独立，则一定相互独立。但多个事件就不一定了，来看一个例子。

掷一个公平的骰子。

$A$ 事件是第一次投3
$B$ 事件是第二次投4
$C$ 事件是两次投掷的和为7

事件 $C$ 发生的概率为

1/6

1/3

以上皆不正确

独立性

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