定理 1（切比雪夫不等式）.设的为，为，则对任意，有：

证明 .由于且，根据马尔可夫不等式，可得：

等价于，结合，代入上式得证：

切比雪夫不等式（定理 1 ）表明：随机变量的取值离（均值）越远，其发生概率越小。即：

例如，设某基金年平均收益率，标准差，则年收益率低于或高于的概率至多为0.04（这两种情况均偏离均值以上，）。换句话说，无论是让投资者"欲哭无泪"的大跌，还是"喜出望外"的大涨，如图 1 所示，都是小概率事件。

例 1.2021年美国人均收入为59510美元，标准差为85000美元，试估计年收入超过100万美元的人群占比。

解 .设表示“个人收入”，由题意知。由切比雪夫不等式（定理 1 ）知，年收入超过100万美元的人群占比至多为0.82%：

和上一节的例题相比，切比雪夫不等式的估计（0.82%）比马尔可夫不等式的估计（5.95%）更贴近实际（0.3%）。