贝叶斯公式的例题

市有蓝、绿两色的出租车,占比分别为,如图 1 图 2 所示。

图 1 蓝色出租车的占比为

图 2 绿色出租车的占比为

某日夜间,该市一辆出租车肇事后逃逸。有目击证人声称肇事的是一辆绿色出租车。考虑到夜间环境复杂,执法机关对该目击者的辨色能力进行了测试,发现其在识别出租车颜色时,

  • 的情况下能正确判断
  • 的情况下会错误判断

请求出在这种情况下,肇事车辆为绿色的概率。

让我们定义出所需的

根据题意,可以得出一些有用的概率:

  • 各色出租车肇事的先验概率,即各色出租车的占比,因此有
  • 肇事车是绿色时,目击者判断正确的概率
  • 肇事车是蓝色时,目击者误判为绿色的概率

结合上,可得出目击者认为肇事车是绿色的概率为:

根据,结合上目击者的证词,我们可以得出绿色出租车肇事的后验概率:

上述结果说明,由于绿色出租车较少,且目击者的判断并非完全可靠,因此肇事车辆为绿色的概率仅约为

练习题 现有三个盒子,每个盒子装有100个球,球的颜色分布如下表所示:

首先,从这三个盒子中随机抽取一个盒子,然后从所抽出的盒子中随机抽取一个球。已知最终抽取的球为白色,求该白球是从盒抽出的概率。

让我们定义出所需的

根据题意,可以得出一些有用的概率:

  • 根据,设每个盒子被抽取的概率均等,因此有
  • 根据,设盒中每个球被抽取的概率均等,因此从各个盒中抽中白球的概率分别为:

根据,结合上,我们可以得出白球从盒中抽出的概率为:

上述结果可以这么理解,抽出白球可看作是对盒的有力证据,因为盒的白球最多。

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