定理 1（概率积分变换）.若的且，则。

证明 .由于的为，故的取值范围为，因此：

而当时，由于且，故其反函数在区间上存在且，从而：

综上，。这正是的，从而得证。

直观解释下概率积分变换定理（定理 1 ）。该定理表明，将变换为区间上的。如图 1 所示，其中的变换法则是将“概率的大小”转化为“区间的长短”：

• 落入区间的概率为，映射为轴上长度为的区间
• 落入区间的概率为，映射为轴上长度为的区间

通过上述方法变换后，轴上各子区间的概率恰好等于其长度，这正是均匀分布的核心特征，因此。

不妨说得再通俗一点。如图 2 所示，根据的分布可知，落入区间的概率为15%。而把这个结论换了一个说法：落入左侧概率为15%的区间（即）的概率为15%。

利用上述变换的可逆性，可以生成服从特定分布的随机数。如图 3 所示，生成服从的随机数后，逆向映射回所需分布，即可得所需的随机数。该方法称为 逆变换采样 。

以为例，其且。根据概率积分变换定理（定理 1 ），有：

• 正变换：
• 逆变换：

在具体实现中，可通过编程（如调用Python的random函数）生成服从的随机数，再通过逆变换，即可得到服从指数分布的随机数。