多个事件的独立性

马同学

1 三个事件的独立性

定义 1. 设、、是上的三个，若满足以下条件：

则称、和两两独立。若在此基础上，还满足：

则称、和相互独立。

关于定义 1 ，需要强调的是，、和的两两独立性不能推出它们的相互独立性。一个通俗的例子是图 1 中展示的波罗梅奥环（Borromean Rings）。仔细观察可以发现，其中任意两环没有交叉、相互分离，因此可称之为“两两独立”；然而，这三个环却彼此交叉、无法分开，因此并不是“相互独立”的。

图 1 波罗梅奥环，“两两独立”，但不“相互独立”

2 多个事件的独立性

定义 .设、、、是上的个，若对于任意个不同的下标（其中，），均有：

则称这个、、、相互独立（简称独立）；否则称它们不独立（或相依）。

练习题1

考虑一枚公平硬币公平硬币意味着，抛掷后得到正面和反面的概率均为被抛掷两次，定义以下：

请计算、和同时发生的概率。

（1）计算。本题的如下：

根据，各事件的概率为：

又，所以：

（2）分析。根据（1）的结果可知，、和两两独立，即满足以下条件：

但不能推出这三者相互独立，因为有：

练习题2

甲、乙、丙三个小伙伴玩猜数游戏，每人在各自的纸上写下4个数字：

随后，甲从1至8的卡片中随机抽一张。若抽中的数字在某人纸上，则该人视为猜中。定义以下：

请计算、和同时发生的概率。

（1）计算。本题的如下：

根据，各事件的概率为：

又，以及，所以：

（2）分析。根据（1）的结果可知，和、和，而和，即有：

还可以推出：

因此，本题说明了，、和的相互独立性需同时满足以下四个条件：

此外，通过修改三人所写的数字，可得到不同的结论，比如像下面这样修改，可得、和两两独立，但，从而这三者不相互独立：

这说明了难以通过直觉来判断，必须依靠严谨的计算。

练习题3

已知在特定人群中，个体血清含有肝炎病毒的概率为。现从该人群中随机抽取100名个体的血清样本，混合成一份血清进行病毒检测。求该混合血清样本中检出肝炎病毒的概率。

定义：

在混合血清中能够检测到肝炎病毒的条件是：至少有一个体的血清含有肝炎病毒。因此本题要求的是“这100名个体中，至少1人的血清中含有肝炎病毒”的概率，即：

假设、、、相互独立（即每名个体的血清是否含有肝炎病毒是相互独立的。这一假设是必须的，否则无法计算），结合上个体血清含有肝炎病毒的概率，运用，可得：

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