三阶行列式的意义

马同学

有三重意义。

1 运算法则

最初，表示的是如下运算规则：

2 有向体积

指的是镜子内外的面积，比如镜子内外的纸片（纸片是平面的）：

而有向体积指的是镜子内外的体积，比如镜子内外的手（手是立体的）：

所以下面用手来示意的正负，左手表示镜子外，右手表示镜子内：

假如三阶的为、、，那么就是、、围成的平行六面体的有向体积：

假设三阶，那么为：

（1）、、围成的平行六面体的体积可以通过底乘以高得到：

（2）通过可得。根据可知，该向量的模长和平行六面体的底（这是标量）的面积相同，方向指向所在直线：

（3）根据可知，下列运算相当于将投影到了所在直线，也就是得到了高，因此就可以求得平行六面体的体积（其中是与的夹角），当然这样求出来的是有向体积，因为结果可能是负数：

（4）根据可知：

所以，结合、、以及，可知有向体积就是：

3 伸缩比例

最为重要的意义是，对于三阶，是对应的的伸缩比例，也就是变换后和变换前的有向体积之比：

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