二阶行列式的意义

马同学

有三重意义。

1 运算法则

最初，表示的是如下运算规则：

2 有向面积

下面用来解释下什么是有向面积。给左边的矩形上贴一副图，经过变换后得到右边的矩形，面积没有变，但是笑脸反转了：

是不是像镜子内外的脸：

如果面积算出来为正代表面积在镜子外面，而为负则意味着面积在镜子里面，这样的面积就称为有向面积：

假如二阶的为、，那么就是、围成的平行四边形的有向面积：

假设二阶，那么为：

（1）在的上方。把构成的平行四边形放到直角坐标系中：

面积可以用三角公式来求得：

根据上图，可以观察到：

（2）在的上方：

面积计算公式是不会改变的，但是翻转后：

所以可以看出，负号就代表在的相对关系发生了变化（之前谈到的镜像本质上也是让两个向量的相对关系发生了变化，就好像镜子内外，左右颠倒了一样）。

（3）和在一条直线上。此时围成的平行四边形面积为0。因为两者在一条直线上，因此：

所以：

（4）综上可知，不论什么情况下都有：

3 伸缩比例

最为重要的意义是，对于二阶，是对应的的伸缩比例，也就是变换前后的有向面积之比：

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