向量积

由三维围成的平行四边形,如果要考虑该平行四边形的方向,可以由图中的来表示:

有如下性质:

数学家定义了向量积运算(因为运算的结果是),又称为叉积运算,来计算该

1 关于方向

围成的平行四边形的法线其实有两个方向,那么哪个方向是向量积的方向:

数学上是通过右手定则来规定的,即用右手从抓向,大拇指的方向就是向量积的方向:

根据该规定可知向量积方向如下:

2 向量积的计算

向量积可以投影到平面:

投影在各个平面的有向面积分别为:

为例来解释下。是二维平面中的,由平面上的投影围成。具有两个方向,指向上方或者下方(因为面积在变化,所以的长短也在变化):

分量置为0就可以得到

因此可算出由围成的为(向量积由方向和模长两部分组成,下面分别来计算。

        (1)方向。容易知道平行:

只是方向可能与相同,或者相反,这需要看(2)中计算的模长。

        (2)模长是的面积。因为围成,所以该面积可以通过来计算:

注意到该有正有负,为正时说明方向相同,为负则说明两者相反。

        (3)综合起来:

):

将这些投影加起来就得到了向量积

3 向量积和行列式
向量积也常常写作如下的形式,这样便于记忆:

根据以及的运算法则,有:

所以,向量积可以类比写作:

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