下面来推导下该曲面的参数方程。

        （2）参数方程的推导。根据直线的参数方程，可将直线看作动点，其绕轴旋转后得到该曲面上的任一点，这里的旋转半径为，如下图所示。

绕轴旋转一周意味着会在到之间变化，结合上一节求解螺旋线时对旋转运动的分析，所以点的坐标为：

因为点为该曲面上的任一点，所以也得到了该曲面的参数方程：

根据之前的学习和上面的分析不难理解，上述曲面参数方程中的使得“点动成直线”，而使得“直线动成曲面”，如下图所示。

        （3 消去参数方程中的和后，可得该曲面的方程为，所以该曲面实际上就是。通过本例题的学习后可知该曲面的特殊之处在于可以通过直线旋转得到，是 直纹曲面 的一种，下面的动图可以更好地展示这一点。

利用该特点就可以不用复杂的弯曲工艺也能够营造曲面建筑。现实中的一个应用就是俗称“小蛮腰”的广州塔，该塔就是通过笔直的钢筋构建而成的，如下图所示。

旋转过程中动点与点的距离始终为，故该半圆周的参数方程为：

        （2）求出球面的参数方程。将上述半圆周绕轴旋转一周可得球面，如下图所示。

在该旋转过程中，代表半圆周的动点与轴的距离始终为，而其坐标始终为，所以半径为、中心在点的球面的参数方程如下：

根据之前的学习和上面的分析不难理解，上述曲面参数方程中的使得“点动成半圆”，而使得“半圆动成曲面”，如下图所示。