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累积分布函数的性质

1 累积分布函数

之前学习了概率质量函数、概率密度函数，两者大同小异，主要区别在于随机变量是离散还是连续的：

概率质量函数 如果满足（）：
  • 非负性：

  • 规范性：

则称其为概率质量函数（PMF）。

 概率密度函数 如果函数满足（）：
  • 非负性：

  • 规范性：

则称其为概率密度函数（PDF）。

它们都有统一的累积分布函数：

设为一个随机变量，对于任意实数，称：

为随机变量的累积分布函数（CDF）。

 离散随机变量和连续随机变量有所不同，离散随机变量的CDF定义为：

连续随机变量的CDF定义为：

上面的定义分散在之前的讲解中，这里总结一下，也是方便之后介绍相关的性质。

2 累积分布函数的性质

从上面的定义出发可以推出累积分布函数的三个性质（这三个性质是累积分布的充要条件，所以也可以看作是累积分布函数的另外一种定义方式：

任一函数如果满足如下三条基本性质：
  • 单调性：对任意，有
  • 有界性：对任意，有

    且有：

  • 右连续性：对任意，有：

则称其为累积分布函数（CDF）。

（1）单调性：这个好理解，是非负函数之和或者积分，自然是单调递增的。

（2）有界性：是单调递增的，再加上的规范性，所以自然有界且有上下渐近线：

（3）右连续性：这里证明较为复杂，大家可以看看下面给出的CDF图像，获得几何直观即可。

这三个性质看上去复杂，其实通过图像来理解还是很直观的。给个例子吧，下面是最简单的伯努利分布的PMF：

以及CDF：

它们的图像如下，可以看出右边的CDF是符合这三个性质的。首先函数是单调递增的；其次函数位于、之间，是有界的；最后函数是右连续的（注意图中的空心点和实心点）：

下面是指数分布的CDF，也满足这三点性质：

3 累积分布函数与概率

通过累积分布函数可以求出各种概率值：

 这些式子最好从几何意义上来理解，下面选其中几个来解释。

（1）指的是曲线下面积：

（2）自然就是从总的面积中减去：

注意上面的是空心点，表明求区间的面积，不含端点。虽然对于定积分而言是否包含端点不会影响面积的大小，但对于离散的累积分布函数而言，是否包含端点就很重要了。

（3）对于：

其中指的是在点的左极限（概率论的书常这么表示左极限，右极限为），即：

这一点是需要证明的，比较复杂，这里就不证明了。借用伯努利分布的CDF图像来理解：

要求，需要沿着上图中箭头方向来逼近，即求在点处的左极限：

（4）有了上面三个概率，要求就好办了，此概率等价于如下面积：

（5）对于

注意是空心点，那么自然等于如下两个面积之差：

当然还可以用纯代数的方法来解：

其余的大家可以举一反三，自行推导，最重要的是细心，不要搞错了端点的等号。

 练习题 所求面积为：

、都为空心点，那么所求概率为如下面积之差：
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