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满射和双射

映射法则分为三种:
  • 单射
  • 满射
  • 双射
上节课介绍了单射，这节课介绍满射与双射。
1 满射
1.1 直观印象
映射法则是“满”的，简称“满射”。即每一个至少有一个与之对应。此时值域与到达域相等：
直观上，只有值域和到达域相等时，才能满射：
在矩阵函数中的满射，表示如下：
1.2 代数印象
1.2.1 行秩
上一篇文章，我们把矩阵看做是列向量组，但矩阵作为数块，也可以看做行向量组：
之前介绍了，列向量组的秩叫做列秩，列向量组线性无关，称为列满秩。
同理，行向量组的秩叫做行秩，行向量组线性无关，称为行满秩。
对于矩阵有一个重要的结论是：
这个结论在后面的课程中，会给出证明。这节课，将带着这个结论讲解满射的情况。
1.2.2 严格化
是的矩阵，则矩阵函数是的映射：
行满秩时。
取自然定义域时，值域是列空间，因此：
图示如下：
又有：
由个行向量组成的向量组的秩为，则行向量组满秩，即行满秩。
再把关系正向捋一遍:
因此：
2 双射
若映射即是单射，又是满射，则称为双射，也称为平时所说的一一映射：
它是单射+满射的结合：
容易推得：
既是列满秩又是行满秩的矩阵，即为满秩矩阵。
满秩矩阵，也就是双射的矩阵函数，有：
图示如下：
3 练习题
练习题
已知
则下面的方程解的情况为：
一定有唯一解
可能有唯一解
一定有多个解
可能有多个解
矩阵的行向量。
线性无关，
为行满秩矩阵，映射关系为：满射
行秩=列秩
不为列满秩矩阵，映射关系为：非单射
所以方程:
一定有多个解
已知
则下面的方程解的情况为：
一定有唯一解
可能有唯一解
一定有多个解
可能有多个解
不为列满秩矩阵：映射关系为非单射。
不存在唯一解。
行秩=列秩
不为行满秩矩阵：映射关系为非满射。
所以方程:
可能有多个解
已知
则下面方程解的情况为：
一定有唯一解
可能有唯一解
一定有多个解
可能有多个解
为的矩阵,因为行秩=列秩,而,所以不可能为行满秩的矩阵。
函数的映射关系不可能是满射。
不为满射，那么方程就不一定有解，所以A,C选项不正确。
要明确矩阵是否为单射,需要判断矩阵是否为列满秩矩阵。
设，
根据定义：
只有零解，那么线性无关，矩阵列满秩。即：
当且仅当时成立。
列出方程组：
可以得出是列满秩矩阵。
的映射关系为单射非满射。
所以方程组可能有唯一解。
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