往下面讲之前先要引入一个定理,让我们从随机变量的数学期望说起。
数学期望也称为,或者更准确的说是一阶矩,在介绍离散数学期望的时候我们解释过,这个名字源于物理中的力矩:
把这个概念扩展一下称为二阶矩,更一般的有阶矩:
在统计中,随机变量也就是总体,对应的样本也有矩,比如样本均值称为样本一阶矩:
更一般的有样本阶矩:
下面这个定理说明样本阶矩是随机变量阶矩的一致估计:
设为取自某总体的简单随机样本,设随机变量阶矩与样本阶矩分别为:
则有:
也就是说:
因为为取自某总体的简单随机样本,所以独立同分布。据此可以得出与独立同分布,所以有:
又容易算出:
所以根据大数定理可以得到:
这个定理是马上要介绍的矩估计的理论基础。