极限的局部保号性

1 极限的局部保号性
如果,且(或),那么在相应的局部始终有(或)。 该定理的证明因不同的极限大同小异,这里以为例来证明下,此时根据,取时有:

该定理的几何意义是很清晰的。对于如下的,该定理可以保证在某内,函数是在某大于的绿色区域内的,也就是此时有

或者对于如下的,该定理可以保证在某的左边、的右边,函数是在某小于的绿色区域内的,也就是此时有

2 局部保号性的推论 1
如果),则在相应的局部始终有

仔细观察极限局部保号性的证明,就可以得到上述推论。也可以通过图像来理解一下,对于的情况,只要取,那么绿色区域的下沿就是,此时在局部,也就是下图中内,有

如果时,取,那么绿色区域的上沿就是,此时在局部,也就是下图中内,有

综合上述两种情况,那么就有

3 局部保号性的推论 2
如果,且在相应的局部始终有(或),那么(或)。 该定理的证明因不同的极限大同小异,这里以,且为例来证明下。

        (1)用反证法,如果,则由极限的局部保号性可知,时有

        (2)取,则,时,根据条件有,根据(1)有,两者矛盾。所以(1)中的假设是错误的,因此

下面看一个可以佐证局部保号性的推论的例子,比如下图是函数的图像:

容易看出其在的局部,也就是在的左侧始终有,其极限为;也容易看出其在的局部,也就是在的右侧始终有,其极限为

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