无穷小的运算法则

1 无穷小的加法

与普通运算中的类似,有:

两个之和是 该定理的证明因不同的极限大同小异,这里以为例来证明下。假设有时的两个

可得时有;以及时有。取,则时有:

比如已知,那么根据上述定理可知。下面是这三个函数的图像:

2 无穷小的乘法
有界函数与的乘积是 该定理的证明因不同的极限大同小异,这里以为例来证明下。假设函数内有界,以及

可得时有;以及时有。取,所以时有:

比如已知;又知虽在时无定义,但它是时的有界函数,见下图。那么根据上述定理可知。下面是这三个函数的图像:

上述定理还可以得到以下有用的推论:

  • 常数与无穷小的乘积是无穷小,因为常数函数是有界函数
  • 有限个无穷小的乘积是无穷小,因为无穷小是有界函数
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马同学高等数学
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