极限的运算法则

1 函数极限的运算法则
如果,那么:

(1)

(2)

(3)若又有,则:

已知,根据可知:

其中,下面来分别证明。

        (1)证明。根据上面得到的结论有:

根据可知,。因此根据,有:

        (2)证明。根据上面得到的结论有:

,根据可知,因此根据,有:

        (3)证明时,有。设,则:

根据可知上式的右半部分,下面证上式的左半部分是局部有界的,这里以在内有界为例来进行证明。

由于,根据时有:

所以:

这就证明了内有界。因此根据,可得:

所以:

2 数列极限的运算法则
设有,如果:

(1)

(2)

(3)当),且,则:

其实数列极限的运算法则和上面的函数极限的运算法则几乎完全一样,就是(3)有些微区别,这主要是为了保证数学的严格性,因为数列中的,所以需要保证)。

3 极限运算法则的推论

(1)如果存在,则

(2)如果存在,则

(3)如果在相应的局部有,且,则

(1)根据极限运算的法则,以及,可以推出:

        (2)根据极限运算的法则,有:

        (3)令,根据条件在相应的局部有,那么根据极限运算的法则以及,那么有:

所以

下面是利用上述计算法则的例子:

4 有理分式趋于无穷时的极限

都是非负整数时有:

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