极限运算法则

如果,那么:

(1)

(2)

(3)若又有,则:

证明(1)

已知:

根据极限与无穷小的关系(即本节最开始的定理)有:

其中为无穷小。

所以:

根据无穷小的运算法则,易得:

也是无穷小。

因此,根据极限与无穷小的关系:

证明(2)

与(1)证明类似,可以自己尝试下。

证明(3)

已知:

可得:

其中为无穷小。设:

则:

上式表示,可以看作两个函数的乘积,其中为无穷小。下面我们证另一个函数的某邻域内有界。

由于,根据有界性,可知的某去心邻域内有界。则:

两个有界量的乘积必然有界。

因此:

而:

所以:

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