欧拉数 e

马同学

1 数列极限与欧拉数

的存在，其极限值通常用 e 来表示：

e 常被称作欧拉数（Euler's number），或称作自然底数（Base of the natural logarithms），其值是无理数：

（1）证明是。已知牛顿二项公式：

将按牛顿二项公式展开：

将也按牛顿二项式展开（红色标出的是相对多出的一项）：

比对和，对应项都是更大，且还要多一项：

所以，即是一个。

（2）证明是。对的展开式进行缩放：

因此是一个。

（3）综合（1）、（2）可知是一个且的，根据，所以存在。因为极限值是无理数，所以数学家就用 e 来表示：

具体的数值可以通过一些方法算出来，这里就不赘述了。

上述定理简单解释下就是，是且的，因此根据可知其存在极限，并将其极限值记作 e ：

2 无穷极限与欧拉数

。（1）证明时的情况。设，则：

因为：

所以，根据有。

（2）再证时的情况。令，则：

（3）所以综合（1）、（2）有。

和上面不同，这里证明的是函数在时的极限为：

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