零点定理和介值定理

1 零点定理
设函数在闭区间上连续,且异号(即),则在开区间内至少有一点使得

零点定理说的是,比如下面函数在闭区间上连续,其两个端点位于轴的异侧,那么该函数曲线必然与轴至少有一个交点,也就是下图中的

2 介值定理
设函数在闭区间上连续,且在此区间的端点取不同的函数值:

则对于之间的任意一个数,在开区间内至少有一点使得:

,易知在闭区间上连续,且异号。根据零点定理可知,开区间上至少有一点使得:

即:

介值定理说的是,只要位于之间,那么必然有

3 介值定理的推论
在闭区间上连续的函数,其值域为闭区间,其中依次为的最小值与最大值 以及,其中。在(或)运用介值定理可知可取到区间的一切值,又以及,所以的值域

上述推论说的就是在闭区间上,连续函数的函数值会在之间变化:

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马同学高等数学
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