导数的定义

马同学

导数的定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ （点 $x_0+\Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应的，因变量取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 。如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x\to 0$ 时的极限存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f'(x_0)$ ，即：

$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

也可记作 $y'|_{x=x_0}$ ， $\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}$ ， $\left.\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}$ 或 $\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\right|_{x=x_0}$ 。

$x_0$ 点的导数其实就是 $x_0$ 点的微分 $\mathrm{d}y=A\mathrm{d}x$ 的斜率，也就是有：

$A=\underbrace{\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}_{\large\text{导数}}$

所以 $x_0$ 点的微分 $\mathrm{d}y=A\mathrm{d}x$ 可以改写为 $\mathrm{d}y=f'(x_0)\mathrm{d}x$ ：