洛必达法则

因为未定式有很多种类型,又因为极限的种类很多,所以洛必达法则有非常多的形式,下面罗列其中的三种形式。

1 洛必达法则的第一种形式
设:

(1)

(2)及都存在,且

则。

(1)证明。根据条件以及,可得:

        (2)可以额外证明一下,时,这保证了是合法的。因为,可以假设(假设也同理可证,此处不再赘述),因此根据,可得:

根据可知,,时有:

所以对于时有:

同理可得时有,所以时。

下面通过图形来解释下上述定理。假设下面就是满足条件的两个函数和,因为有,所以两者交于点:

因为及都存在,所以这两个函数在点有切线:

我们知道切线(也就是)在附近可以近似曲线,即在附近有:

所以,在附近有:

很显然,越接近时,越接近,从而在极限的情况下可以取到等号:

2 洛必达法则的加强形式
设:

(1)

(2)时,及都存在,且

(3)存在(或为)

则。

(1)构造两个辅助函数:

根据条件,可推出在点,即有:

又根据条件,时,及都存在,且,所以可推出此时都,且。

        (2)运用。根据(1)中的推论,所以任选且,此时有:

  • 在闭区间上
  • 在开区间上
  • 时有

满足,则使得:

根据的构造,上式可改写为:

对上式两端求极限(因为),注意同时会有,所以可得:

同理,因此。

相比于“洛必达法则的第一种形式”,上述定理条件更宽松,适用范围更广,所以称为“洛必达法则的加强形式”。

3 洛必达法则的无穷形式
设:

(1)

(2),时及都存在,且

(3)存在(或为)

则。

可以看到和“洛必达法则的加强形式”非常相似,只是由于极限过程不同,带来了一些细节上的变化。

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