如果函数在处具有阶,那么存在的一个,对于该内的任一,有:
其中。
下述证明完全没有涉及到该证明产生的思路,所以不少同学看了都会懵。不过为了课程的完整性还是先抄录在这里,后面会换一种更易懂的方式来进行讲解。令:
代入,容易验证:
令,根据上面得到的,所以:
由于在处有阶,根据,因此必在的某内有阶,从而也在该某内有阶,反复应用,可得:
根据,因此有,定理证毕。
该定理最重要的就是如下等式。该等式也被称为阶 泰勒公式 (Taylor's Formula),其中的多项式部分被称为次 泰勒多项式 (Taylor's polynomial),而被称为 余项 (Remainder):
为了方便之后的讲解,这里用来表示次泰勒多项式,即令️:
那么泰勒公式说的就是:
如果函数在的某个内具有阶,那么对任一,有:
其中:
这里是与之间的某个值。
令:
然后假设,由条件可知,在内有阶,且(根据假设可知:
所以:
同样的,可算出。
):
对函数和在以及为端点的区间上应用,可得:
因为是变量,所以也是变量,所以再对函数及在以及为端点的区间上应用,可得:
如此反复,经过次后可得:
注意到(因为),所以:
“泰勒定理 1”和“泰勒定理 2”,两者大同小异,这里进行一下比较: