泰勒公式

1 泰勒定理 1
如果函数处具有,那么存在的一个,对于该内的任一,有:

其中

下述证明完全没有涉及到该证明产生的思路,所以不少同学看了都会懵。不过为了课程的完整性还是先抄录在这里,后面会换一种更易懂的方式来进行讲解。

令:

代入,容易验证:

,根据上面得到的,所以:

由于处有,根据,因此必在的某内有,从而也在该某内有,反复应用,可得:

根据,因此有,定理证毕。

该定理最重要的就是如下等式。该等式也被称为 泰勒公式 (Taylor's Formula),其中的多项式部分被称为 泰勒多项式 (Taylor's polynomial),而被称为 余项 (Remainder):

为了方便之后的讲解,这里用来表示次泰勒多项式,即令️:

那么泰勒公式说的就是:

  • 函数可看作次泰勒多项式和余项之和:

  • 次泰勒多项式是对函数的多项式逼近
  • 既然次泰勒多项式是函数的逼近,那么两者还是存在差异的,这个差异就是余项
2 泰勒定理 2
如果函数的某个内具有,那么对任一,有:

其中:

这里之间的某个值。

令:

然后假设,由条件可知,内有,且(根据假设可知:

所以:

同样的,可算出

):

对函数在以为端点的区间上应用,可得:

因为是变量,所以也是变量,所以再对函数在以为端点的区间上应用,可得:

如此反复,经过次后可得:

注意到(因为),所以:

“泰勒定理 1”和“泰勒定理 2”,两者大同小异,这里进行一下比较: