曲率

曲率 已知函数点有二阶导数,且,则此点有密切圆,其半径为:

此时,曲线的也就是密切圆的曲率,为:

所以密切圆也称为曲线的,半径称为

首先引入正弦定理,一个三角形的外接圆:

三角形的边长分别为,;对应的顶角分别为,,外接圆半径,根据正弦定理有:

又由于三角形的面积为:

综合上述两个条件可以得到:

好,有了上面的知识后继续往下。如图,附近两个点决定一个圆,这三个点的坐标如下:

为了方便计算,将三个点标注为向量:

这三个点组成三角形,在此三角形中各自的对边为以下向量:

在图上标示下:

下面行列式:

表示的是如下平行四边形的有向面积:

有向面积是有正负号的,所以平行四边形的面积需要加上绝对值:

的面积为此平行四边形面积的一半,因此:

至此可以得到:

上下同除以可得:

我们要求的密切圆的半径,根据定义为:

分别求各项的极限。首先:

然后:

同理:

最后还有:

所以可得:

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