三角形的边长分别为，、、；对应的顶角分别为，、、，外接圆半径，根据正弦定理有：

又由于三角形的面积为：

综合上述两个条件可以得到：

好，有了上面的知识后继续往下。如图，附近两个点决定一个圆，这三个点的坐标如下：

为了方便计算，将三个点标注为向量：

这三个点组成三角形，在此三角形中各自的对边为以下向量：

在图上标示下：

下面行列式：

表示的是如下平行四边形的有向面积：

有向面积是有正负号的，所以平行四边形的面积需要加上绝对值：

而的面积为此平行四边形面积的一半，因此：

至此可以得到：

上下同除以可得：

我们要求的密切圆的半径，根据定义为：

分别求各项的极限。首先：

然后：

同理：

最后还有：

所以可得：