此时,曲线的也就是密切圆的曲率,为:
所以密切圆也称为曲线的,半径称为。
三角形的边长分别为,、、;对应的顶角分别为,、、,外接圆半径,根据正弦定理有:
又由于三角形的面积为:
综合上述两个条件可以得到:
好,有了上面的知识后继续往下。如图,附近两个点决定一个圆,这三个点的坐标如下:
为了方便计算,将三个点标注为向量:
这三个点组成三角形,在此三角形中各自的对边为以下向量:
在图上标示下:
下面行列式:
表示的是如下平行四边形的有向面积:
有向面积是有正负号的,所以平行四边形的面积需要加上绝对值:
而的面积为此平行四边形面积的一半,因此:
至此可以得到:
上下同除以可得:
我们要求的密切圆的半径,根据定义为:
分别求各项的极限。首先:
然后:
同理:
最后还有:
所以可得: