积分中值定理

1 最大值与最小值
在区间分别是函数在区间上的,则:

因为在区间,以及,所以根据有:

结合上以及之前证明过的,所以有:

还是举例来说明下上述定理,如下图所示,是左侧绿色矩形的面积,是中间曲边梯形的面积,而是右侧蓝色矩形的面积。

很显然此时有

2 积分中值定理
若函数在区间,那么使得:

(1)证明使得。因为函数在区间,根据,可知函数在区间

分别是函数在区间上的,根据上面定积分的最大值、最小值定理,有:

介于之间,又函数在区间,根据可知,使得:

        (2)证明使得。这里需要分情况讨论:

  • 上为常函数,即,则根据以及可得:

    因为,所以任选都可使得

  • 若对于,有以及,结合(1)中的结论所以有:

    不妨设,根据所以使得

  • 为端点,且点为端点,比如(即),且使得,结合上以及可得:

    可以证明只有当时上式才能成立,不过这是常函数,在上面已经讨论过了。若不是常函数会导出矛盾,设不是常函数,则必然使得,因为在区间,根据,在之间一定存在某个子区间,使得时有,如下图所示。

    ,则且有,可知,根据,有:

    因为:

    根据上面的分析和可推出:

    所以,与矛盾。同样的方法可以去讨论为各种的情况,这里不再赘述

综上,使得

我们来直观理解下上述定理,上面学习了介于高为的矩形(左侧绿色矩形)和高为的矩形(右侧蓝色矩形)之间,如下图所示。

所以总能找到一个高度合适的矩形,也就是定理中说的高为的矩形,其与相等,如下图所示。

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