弧长和弧微分

1 光滑曲线
若函数在区间上有,那么称该函数在上的是 光滑 的。

意味着,的斜率是连续变化的。从几何上观察的话,就是当点变化时,该点的在顺滑地移动,如下图所示。该函数曲线看上去也符合我们对“光滑”的直觉。

这里来看一个反例,比如:

该函数的曲线在点附近看着并不光滑(剧烈地震荡),如下图所示。

该函数的如下,其在

2 光滑曲线的长度
若函数在区间上是光滑的,那么定义该函数在上的长度为:

若定义 弧微分 ,那么上式可以简写为

这里通过举例来说明下为什么要这样定义。下面的分析思路和介绍时差不多,有疑惑的话可以回看一下。

如下图所示,先把切成份,仔细观察某子区间的弧长

在区间上随便挑选一点,作出该点的切线,如下图所示。

按照下述规则作出直角三角形,其图像如下图所示。

  • 斜边为该切线在区间上的一段,记作
  • 底边记作,其值为
  • 高记作,因为切线的斜率为,所以有

所以可算出斜边的长度,也就是切线段的长度如下:

根据微积分“以直代曲”的思想,可认为弧长近似等于切线段长度,即:

那么之间的弧长可以近似为某种

,因为函数在区间上光滑,即在区间,根据,所以时上述的极限存在,也就是。所以定义:

用于近似弧线段的切线段,称为该弧线段的,简称弧微分,记作。所以弧长公式可以理解为弧微分之(积分)和:

3 参数方程的弧长
已知参数方程,若在区间上存在且存在的反函数,以及,那么该参数方程在区间上的弧长为:

其中就是参数方程的 弧微分

根据,可算出上述参数方程的弧微分为:

所以该参数方程在区间上的弧长为:

4 极坐标方程的弧长
已知极坐标方程,若上存在且,那么该极坐标方程在区间上的弧长为:

其中就是极坐标方程的 弧微分

由直角坐标与极坐标的关系,可得以为参数的参数方程:

若该参数方程满足上面参数方程的弧长定理的条件,则弧微分为:

所以该极坐标方程在区间上的弧长为:

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