行列式的基本性质

表格如果看不明白的,可以看下面的详细解释。

1 转置行列式
对于,有:

称为转置行列式。可以证明:

(1)改写。为了便于思考,进行符号替换:

替换之后:

因此按照定义:

        (2)思路。根据有:

所以下面要证明:

其中,为全排列为全排列

那么就是要证明:

  • 调换顺序后可以变为
  • 调换顺序后对应的逆序数的奇偶性相等,这样不会改变符号

下面来证明以上两点。

        (3)为了不至于太难以理解,下面用来进行说明:

根据定义,以及符号为(脚标第一项都是按照“”排列的,第二项是):

按照之前的分析,需要的以及符号为(脚标第二项都是按照“”排列的,第一项是):

中的一项,总是可以通过调换顺序可以得到中的一项,这种调换顺序总共也就如下六种情况,可以看到调换顺序后的对应关系是唯一的,并且符号也不会发生变化:

推广到阶行列式,总能通过调换顺序得到(并且这种对应关系是唯一的):

因此可以得到:

之前解释过代表的是同一个映射,只是代数形式不同:

是这两个的伸缩比例,因为代表的是同一个映射,所以自然有

2 满秩、可逆与行列式
对于有:

        (1)根据,比如,也就说有,那么作为一定是非零的。反过来说也是正确的,所以有:

        (2)根据可知:

所以综合起来就是:

可以结合来理解“满秩与行列式的关系”:

从上面的动画中可以看出:

  • ,左边的矩形变为右侧的平行四边形,此时,所以,也
  • ,左边的矩形变为右侧的线段,此时,所以不是,也不

还很容易得到以下两个推论:

        (1)比如某一行(列)元素全为0,很显然该,则对应的为0:

        (2)再比如某有两行(列)对应成比例或相同,很显然该,所以对应的为0:

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