行列式的基本性质

表格如果看不明白的,可以看下面的详细解释。

1 转置行列式
记:

称为转置行列式。且可以证明:

为了便于思考,进行符号替换:

替换之后:

因此按照定义:

为了不至于太难以理解,下面用来进行说明:

根据定义,以及符号为(脚标第一项都是按照“”排列的,第二项是):

按照之前的分析,需要的以及符号为(脚标第二项都是按照“”排列的,第一项是):

通过调换顺序,可以得到

具体过程如下:

推广到阶行列式,总能通过调换顺序得到(并且这种对应关系是唯一的):

其中,为全排列为全排列

因此可以得到:

2 满秩、可逆与行列式
对于有:

        (1)根据,比如,也就说有,那么作为一定是非零的。所以有:

        (2)根据可知:

所以综合起来就是:

可以结合来理解“满秩与行列式的关系”:

从上面的动画中可以看出:

  • ,左边的矩形变为右侧的平行四边形,此时,所以,也
  • ,左边的矩形变为右侧的线段,此时,所以不是,也不

还很容易得到以下两个推论,(1)比如某一行(列)元素全为0,很显然该,则对应的为0:

(2)再比如某有两行(列)对应成比例或相同,很显然该,所以对应的为0:

关注马同学
马同学高等数学
微信公众号:matongxue314