范德蒙行列式

以下被称为范德蒙矩阵

对应的就是范德蒙行列式

可以证明范德蒙行列式的值为

其中代表连乘。

用数学归纳法证明,假设:

        (1)时,根据可知当时,式成立:

        (2)现在假设式对于阶时成立,要证式对阶也成立。从最后一行开始,后行减去前行的倍,一直算到第二行。根据,这样得到的行列式的值保持不变,即有:

按照第一列展开,并把每列的公因子提出,就有:

可见上端右式是阶范徳蒙行列式,按归纳法假设,它等于所有因子的乘积,因此:

比如按照上面的性质,下面的范德蒙行列式的值为:

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马同学高等数学
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