点积

马同学

向量和的(dot product)，或称(inner product)，定义为：

点积还可以称为或者，这是因为两个向量通过点积运算之后的结果是数量（标量）。

没有定义角度和长度，有了点积之后就可以定义角度和长度，从而得到：

1 长度和角度

向量的长度和角度：

的长度：

与的夹角：

可以通过点积来计算：

要注意一点，向量的坐标必须在下。

在自然基下，两个互相垂直的向量坐标如下：

根据点积容易算出两者夹角为：

在非自然基下，向量的坐标为：

如果依然用点积计算两者的，就会得到错误的结果：

还有一点需要解释下，向量的长度用来表示，出于两点考虑：

2 点积的投影公式

根据点积与长度、角度的关系，点积也常常写作：

其中可以看作在上的投影：

所以这种写法也常称为点积的投影公式。

3 点积的运算性质

点积具有以下运算性质：

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