矩阵的转置运算

马同学

把的行换成同序数的列，该操作称为的。转置运算后可以得到一个新，该称为的，记作。或者用符号表示如下：

转置运算可以用如下动画来表示，并且可以看出重复转置运算可以得到原矩阵：

1 转置运算的性质

容易得到有以下性质：

对于两个同维向量和，有：

下面来证明。设：

（1）计算。根据，可得：

它的就是在位置放原来位置的元素，即：

（2）计算。根据最初的假设，可知的第行以及的第列分别为：

根据，有：

（3）综上可得：

其余的性质也可以通过证得，大家可自行练习。

其中比较常用，我们着重解释下。通过，可知中的每个元素都是中的行向量和中的列向量点积的结果：

那么可以通过下面这幅动画理解：

2 行向量和列向量

行向量、列向量在参与矩阵运算时是有区别的，所以用表示列向量，它的转置表示行向量：

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