向量数乘

对于

数乘定义为:

1 数乘的几何意义

下面以 2 维为例来展示数乘,该的各个分量都扩大了倍:

所以的几何意义就是对进行了伸缩,其中的符号决定了伸缩的方向:

2 平行
根据数乘的几何意义可以看出,伸缩后的向量与原向量平行,因此可以借助数乘来定义平行:
满足,则称平行,记作

因为和任意向量始终有,所以与任意向量平行,也可以说的方向任意。

3 数乘与直线

已知过原点的直线,以及在该直线上的向量

该向量的数乘,当在实数范围变动的时候,可以表示该直线上所有的点:

因此,该直线可以通过数乘来表示:

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马同学高等数学
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